СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ .
(для научных работников и инженеров).
Г. Корн, Т. Корн..
ОГЛАВЛЕНИЕ .
Перечень таблиц ... 20
Предисловия переводчиков ... 23
Из предисловия авторов ко второму американскому изданию ... 25
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ
(ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ).
// [
1.1. Введение. Система действительных чисел ... 27
1.1-1. Вводные замечания ( 27 ).
1.1-2. Действительные числа ( 27 ).
1.1-3. Отношение равенства ( 28 ).
1.1-4. Отношение тождества ( 28 ).
1.1-5. Неравенства ( 28 ).
1.1-6. Абсолютные величины ( 28 ).
1.2. Степени, корин, логарифмы и факториалы. Обозначения
сумм и произведений ... 28
1.2-1. Степени н корни ( 28 ).
1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе
дроби ( 29 ).
1.2-3. Логарифмы ( 29 )
1.2-4. Факториалы ( 30 ).
1.2-5. Обозначения сумм и произведений ( 30 ).
1.2-6. Арифметическая прогрессия ( 30 ).
1.2-7. Геометрическая прогрессия ( 30 ).
1.2-8. Некоторые числовые суммы ( 31 ).
1.3. Комплексные числа ... 31
1.3-1. Вводные замечания ( 31 ).
1.3-2. Изображение комплексных чисел точками нли радиусами-векторами.
Тригонометрическая форма комплексного числа ( 32 ).
1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни ( 32 ).
1.4. Различные формулы ... 33
1.4-1. Бнном Ньютона и родственные формулы ( 33 ).
1.4-2. Пропорции ( 34 ).
1.4-3. Многочлены. Симметрические функции ( 34 ).
1.5. Определители ... 35
1.5-1. Определение ( 35 ).
1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя
по строке нлн по столбцу ( 35 ).
1.5-3. Примеры. ( 35 ).
1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа ( 36 ).
1.5-5. Различные теоремы ( 36 ).
1.5-6. Умножение определителей ( 37 ).
1.5-7. Изменение порядка определителей ( 37 ).
1.6. Алгебраические уравнения: общие теоремы ... 37
1.6-1. Вводные замечания ( 37 ).
1.6-2. Решение уравнения. Корин ( 37 ).
1.6-3. Алгебраические уравнения ( 37 ).
1.6-4. Соотношения между корнями и коэффициентами ( 38 ).
1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения ( 33 ).
1.6-6. Действительные алгебраические уравнения н их корни ( 39 ).
1.7. Разложение многочленов на множители н деление многочленов.
Элементарные дроби ... 41
1.7-1. Разложение многочленов па множители ( 41 ).
1.7-2. Деление многочленов. Остаток ( 41 ).
1.7-3. Общие делители и общие корнн двух многочленов ( 41 ).
1.7-4.Разложение на элементарные дроби ( 42 ).
1.8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения н уравнения
четвертой степени ... 43
1.8-1. Решение линейных уравнений ( 43 ).
1.8-2. Решение квадратных уравнений ( 43 ).
1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано ( 43 ).
1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение ( 44 ).
1.8-5. Уравнения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера ( 44 ).
1.8-6. Уравнения четвертой степени: решение Феррари ( 44 ).
1.9. Системы уравнений ... 45
1.9-1. Системы уравнений ( 45 ).
1.9-2. Системы линейных уравнений: правило Крамера ( 45 ).
1.9-3. Линейная независимость ( 45 ).
1.9-4. Системы линейных уравнений: общая теория ( 46 ).
1.9-5. Системы линейных уравнений: п однородных уравнений
с n неизвестными ( 16 ).
1.10. Формулы, описывающие плоские фигуры и тела ... 47
1.10-1. Трапеция ( 47 ).
1.10-2. Правильные многоугольники ( 48 ).
1.10-3. Круг ( 48 ).
1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы ( 48 ).
1.10-5. Тела вращения ( 48 ).
1.10-6. Правильные многогранники ( 49 ).
1.11. Тригонометрия на плоскости ... 49
1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники ( 49 ).
1.11-2. Свойства плоских треугольников ( 50 ).
1.11-3. Формулы для решения треугольников ( 50 ).
1.12. Сферическая тригонометрия... 51
i.12-1. Введение. Сферические треугольники ( 51 ).
1.12-2. Свойства сферических треугольников ( 52 ).
1.12-3. Прямоугольный сферический треугольник ( 53 ).
1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников ( 53 ).
// ]
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
// [
2.1.Введение и основные понятия... 55
2.1-1. Вводные замечания ( 56 ).
2.1-2. Декартова система координат ( 5S).
2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат ( 57 ).
2.1-4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах ( 57 ).
2-1-5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей ( 58 ).
2.1-6. Преобразование декартовых прямоугольных координат прн повороте
2.1-7. Одновременный перенос н поворот координатных осей ( 58 ).
2.1-8. Полярные координаты ( 59 ).
2.1-9. Способы задания кривых ( 60 ).
2.2.Прямая линия... 60
2.2-1. Уравнение прямой линии ( 60 ).
2.2-2. Другие способы задания прямой ( 61 ).
2.3.Взаимное расположение точек и прямых...,... 62
2.3-1. Точки и прямые ( 62 ).
2.3-2. Две нлн несколько прямых ( 62 ).
2.3-3. Тангенциальные координаты ( 63 ).
2.4.Кривые второго порядка (конические сечения)... 61
2.4-1. Общее уравнение второй степени ( 64 ).
2.4-2. Инварианты ( 64 ).
2.4-3. Классификация кривых второго порядка ( 64 ).
2.4-4. Условие подобии невырожденных кривых второго порядка ( 64 ).
2-4-5. Характеристическая квадратичная форма и
характеристическое уравнение ( 61 ).
2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка ( 61 ).
2.4-7. Главные оси ( 6С). ????
2.4-8. Приведение уравнения кривой второго порядка к
стандартному (каноническому) виду ( 66 ).
2.4-9. Геометрическое определение невырожденной кривой
второго порядка ( 67 ).
2.4-10. Касательные и нормали к кривым пторого порядка.
Полюсы и полиры ( 67 ).
2.4-11. Другие способы задания кривых второго порядка ( 69 ).
2.5.Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол... 70
2.5-1. Окружность: формулы и теоремы ( 70 ).
2.5-2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы ( 70 ).
2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их касательных и нормалей ( 71 ).
2.5-4. Построение параболы, ее касательных и нормалей ( 73 ).
2.6.Уравнения некоторых плоских кривых... 73
2.6.1. Примеры алгебраических кривых ( 73 ).
2.6-2. Примеры трансцендентных кривых ( 74 ).
// ]
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
// [
3.1. Введение и основные понятия ... 73
3.1-1. Вводные замечания ( 76 ).
3.1-2. Декартова система координат ( 7С).
3.1-3. Правая система осей ( 76 ).
3.1-4. Правая декартова прямоугольная система координат ( 76 ).
3.1-5. Радиус-вектор ( 77 ).
3.1-6. Цилиндрическая и сферическая системы координат ( 77 ).
3.1-7. Основные формулы в декартовых прямоугольных
координатах и в векторной форме ( 77 )
3.1-8. На правляющие косинусы ( 78 ).
3.1-9. Проекции ( 79 ).
3.1-10. Вектор площади ( 79 ).
3.1-11. Вычисление объемов ( 79 ).
3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат
при параллельном переносе и повороте осей ( 79 ).
3.1-13. Аналитическое заданье кривых ( 81 ).
3.1-14. Способы задания поверхностей ( 81 ).
3.1-l5. Специальные типы поверхностей ( 82 ).
3.1-16. Поверхности и кривые ( 82 ).
3.2 Плоскость ... 83
3.2-1. Уравнение плоскости ( 83 ).
3.2-2. Параметрическое задание плоскости ( 84 ).
3.3.Прямая линия... 8-1
3.3-1. Уравнения прямой ( 84 ).
3.3-2. Параметрические уравнения прямой
3.4.Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых... 85
3.4-1. Углы ( 85 ).
3.4-2. Расстояния ( 86 ).
3.4-3. Специальные случаи взаимного расположения точек,
прямых и плоскостей ( 87 ).
3.4-4. Тангенциальные координаты плоскости и принцип двойственности ( 88 ).
3.4-5. Некоторые дополнительные соотношения ( 88 ).
3.5.Поверхности второго порядка... 89
3.5-1. Общее уравнение торой степени ( 89 ).
3.5-2. Инварианты ( 89 ).
3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка ( 89 ).
3.5-4. Характеристическая квадратичлая форма и
характеристическое уравнение ( 89 ).
3.5-5. Диаметральные плоскости, диаметри и центры
поверхностей второго порядка ( 91 ).
3.5-G. Главные плоскости и главные осн ( 91 ).
3.5-7. Приведение уравнения поверхности второго порядка
к стандартному (каноническому) виду ( 92 ).
3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка.
Полюсы и поляры ( 93 ).
3.5-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы ( 86 ).
3.5-10. Параметрическое задание поверхностен второго порядка ( 97 ).
// ]
ГЛАВА 4. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
// [
4.1.Введение... 98
4.2.Функции... 93
4.2-1. Функции п переменные ( 98 ).
4.2-2. Функции со специальными свой ствами ( 99 ).
4.3.Точечные множества, интервалы и области... 99
4.3-1. Вводные замечания ( 99 ).
4.3-2. Свойства множеств ( 100 ).
4.3-3. Границы ( 100 ).
4.3-4. Интервалы ( 101 ).
4.3-5. Определение окрестностей ( 101 ).
4.3-G. Открытые и замкнутые множества и области ( 101 ).
4.4.Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы... 102
4.4-1. Пределы функций и последовательностей ( 102 ).
4.4-2. Операции над пределами ( 103 ).
4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функциями ( 103 ).
4.4-4. Равномерная сходимость ( 104 ).
4.4-5. Пределы по совокупности переменных и повторные пределы ( 104 ).
4.4-6. Непрерывные функции ( 104 ).
4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность ( 105 ).
4.4-8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации ( 106 ).
4.5.Дифференциальное исчисление ... 107
4.5-1. Производные и дифференцирование ( 107 ).
4.5-2. Частные производим,-( 107 ).
4.5-3. Дифференциалы ( 109 ).
4.5-4. Правила дифференцирования ( 110 ).
4.5-5. Однородные функции ( 112 ).
4.5-6. Якобианы и функциональная зависимость ( 112 ).
4.5-7. Неявные функции ( 112 ).
4.6.Интегралы и интегрирование ... 113
4.6-1. Определенные интегралы (интеграл Римана) ( 113 ).
4.6-2. Несобственные интегралы ( 115 ).
4.6-3. Среднее значение ( 117 ).
4.6-4. Неопределенные интегралы ( 117 ).
4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления ( 117 ).
4.6-6. Методы интегрирования ( 117 ).
4.6-7. Эллиптические интегралы ( 119 ).
4.6-8. Кратные интегралы ( 119 ).
4.6-9. Длина дуги спрямляемой кривой ( 120 ).
4.6-10. Криволинейные интегралы ( 120 ).
4.6-11. Площади и объем: ( 121 ).
4.6-12. Интегралы гю поверхности и по объему ( 122 ).
4.6-13. Замена переменных в интегралах по объему
и по поверхности ( 123 ).
4.6-14. Mepа Лебега. Измеримые функции ( 123 ).
4.6-15. Интеграл Лебега ( 124 ).
4.6-16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности) ( 126 ).
4.6-17. Иптсгрп Стнлтьеса ( 126 ).
4.6-18. Свертки ( 123 ).
4.6-19. Неравенства Mинковского и Гельдара ( 123 ).
4.7. Теоремы о среднем значении. Раскрытие неопределенностей.
Теоремы Вейерштрасса о приближении ... 129
4.7-1. Теоремы о среднем значении ( 129 ).
4.7-2. Раскрытие неопределенностей ( 130 ).
4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении ( 131 ).
4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения и
непрерывные дроби ... 131
4.8-1.Бесконечные ряды. Сходимость ( 131 ).
4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость ( 132 ).
4.8-3. Операции над сходящимися рядами ( 132 ).
4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций ( 133 ).
4.8-5. Улучшение сходимости и суммирование рядов.
Суммы некоторых рядов ( 134 ).
4.8-6. Расходящиеся бесконечные ряды ( 136 ).
4.8-7. Бесконечные произведения ( 137 ).
4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби ( 138 ).
4.9. Признаки сходимости и равномерной сходимости бесконечных
рядов и несобственных интегралов ... 139
4.9-1. Признаки сходимости бесконечных рядов ( 139 ).
4.9-2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов ( 140 ).
4.9-3. Признаки сходимости несобственных интегралов ( 140 ).
4.9-4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов ( 142 ).
4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление
их интегралом. Степенные ряды н ряд Тейлора ... 142
4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и
представление нх интегралом ( 142 ).
4.10-2. Степенные ряды ( 143 ).
4.10-3. Теоремы Абеля и Таубера ( 145 ).
4.10-4. Ряд Тейлора ( 145 ).
4.10-5. Кратный ряд Тейлора ( 146 ).
4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье ... 146
4.11-1. Вводные замечания ( 146 ).
4.11-2. Ряды Фурье ( 146 ).
4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье ( 148 ).
4.11-4. Функции, разложимые в ряд Фурье н представнмые
интегралом Фурье. Гармонический анализ ( 149 ).
4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и
преобразования Фурье ( 156 ).
4.11-6. Интегралы Дирихле и Фейера ( 157 ).
4.11-7.Суммирование средними арифметическими ( 160 ).
4.11-8. Кратные ряды и интегралы Фурье ( 160 ).
// ]
ГЛАВА 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ.
// [
5.1. Векторы в евклидовом пространстве ... 162
5.2. Векторная алгебра ... 162
5.2-1. Сложение векторов н умножение вектора на
(действительный) скаляр ( 162 ).
5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам ( 163 ).
5,2-3. Декартовы прямоугольные координаты вектора ( 163 ).
5.2-4. Векторы и физические размерности ( 163 ).
5.2-5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина) вектора ( 164 ).
5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов ( 164 ).
5.2-7. Векторное произведение двух векторов ( 164 ).
5.2-8. Смешанное (векторио-скалярное) произведение ( 165 ).
5.2-9. Другие произведения, содержащие более двух векторов ( 166 ).
5.2-10. Разложение вектора а по направлению единичного вектора
u к ему перпендикулярному ( 166 ).
5.2-11. }ешеине уравнений ( 166 ).
5.3. Векторные функции скалярного аргумента ... 166
5.3-1. Векторные функции и нх пределы ( 166 ).
5.3-2. Дифференцирование ( 166 ).
5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения ( 167 ).
5.4. Скалярные и векторные поля ... 168
5.4-1. Вводные замечания ( 168 ).
5.4-2. Скалярные поля ( 168 ).
5.4-3. Векторные поля ( 168 ).
5.4-4. Векторный элемент линии и длина дуги ( 168 ).
5.4-5. Криволинейные (линейные) интегралы ( 169 ).
5-4-6. Поверхностные интегралы ( 169 ).
5.4-7. Объемные интегралы ( 170 ).
5.5. Дифференциальные операторы ... 170
5.5-1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения ( 170 ).
5.5-2. Оператор #CONT_5.5-1# ( 171 ).
5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и
производная по направлению ( 172 ).
5.5-4. Производные высших порядков по направлению. Ряд Тейлора ( 173 ).
5.5-5. Оператор Лапласа ( 173 ).
5.5-6. Операции второго порядка ( 173 ).
5.5-7. Операции над простейшими функциями от "?" ( 174 ).
5.5-8. Функции от двух и более раднусов-векторов ( 174 ).
5.6. Интегральные теоремы ... 175
5.6-1. Теорема о дивергенции н связанные с ней теоремы ( 175 ).
5.6-2. Теорема о роторе н связанные с ней теоремы ( 176 ).
5.6-3. Поля с разрывами на поверхностях ( 176 ).
5.7. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции ... 175
5.7-1. Безвихревое екториое поле ( 176 ).
5.7-2. Соленоидальпые (трубчатые) векторные поля ( 177 ).
5.7-3. Отыскание векторного поля по его ротору п дивергенции ( 177 ).
// ]
ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ .
// [
6.1. Вводные замечания ... 179
6.2. Системы криволинейных координат ... 179
6.2-1. Криволинейные координаты ( 179 ).
6.2-2. Координатные поверхности координатные линии ( 179 ).
6.2-3. Элементы длины дуги и объема ( 179 ).
6.3. Криволинейные координаты вектора ... I80
6.3-1. Координаты вектора и локальный (местный) базис ( 180 ).
6.3-2. Физические координаты вектора ( 182 ).
6.3-3. Контравариантные и ковариантные координаты вектора ( 182 ).
6.3-4. Запись векторных соотношений в криволинейных координатах ( 183 ).
6.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в
ортогональных координатах ... 183
6.4-1. Ортогональные координаты ( 183 ).
6.4-2. Векторные соотношения ( 184 ).
6.4-3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и
объемный интеграл ( 185 ).
6.5. Формулы для специальных систем ортогональных координат ... 135
// ]
ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
// [
7.1. Вводные замечания ... 197
7.2. Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 1Э7
7.2-1. Функции комплексного переменного ( 197 ).
7.2-2. z-плоскость и w-плоскость. Окрестности.
Бесконечно удаленные точки ( 197 ).
7.2-3. Кривые н контуры ( 200 ).
7.2-4. Границы н области ( 200 ).
7.2-5. Комплексные контурные интегралы ( 200 ).
7.3. Аналитические (регулярные, голоморфные) функции ... 201
7.3-1. Производная функция ( 201 ).
7.3-2. Уравнения Коши — Римана ( 201 ).
7.3-3. Аналитические функции ( 202 ).
7.3-4. Свойства аналитических функций ( 202 ).
7.3-5. Теорема о максимуме модуля ( 203 ).
7.4. Многозначные функции ... 203
7.4-1. Ветви ( 203 ).
7.4-2. Точки разветвления н разрезы ( 203 ).
7.4-3. Римаповы поверхности ( 204 ).
7.5. Интегральные теоремы и разложения в ряды ... 205
7.5-1. Интегральные теоремы ( 205 ).
7.5-2. Разложение в ряд Тейлора ( 206 ).
7.5-3. Разложение в ряд Лорана ( 207 ).
7.6. Пули и изолированные особые точки ... 207
7.6-1. Нули ( 207 ).
7.6-2. Особые точки ( 207 ).
7.6-3. Нули и особенности в бесконечности ( 209 ).
7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара ( 209 ).
7.6-5. Целые функции ( 209 ).
7.6-6. Разложение целой функции в произведение ( 210 )
7.6-7. Мероморфные функции ( 210 ).
7.6-8. Разложение мероморфных функция на простейшие дроби ( 211 ).
7.6-9. Нули и полюсы мероморфных функций ( 211 ).
7.7. Вычеты и контурные интегралы ... 211
7.7-1. Вычеты ( 211 ).
7.7-2. Теорема о вычетах ( 212 ).
7.7-3. Вычисление определенных интегралов ( 212 ).
7.7-4. Применение вычетов к суммированию рядов ( 213 ).
7.8. Аналитическое продолжение ... 214
7.8-1. Аналитическое продолжение н моногенные
аналитические функции ( 214 ).
7.8-2. Методы аналитического продолжения ( 214 ).
7.9. Конформное отображение ... 215
7.9-1. Конформное отображение ( 215 ).
7.9-2. Дробно-линейное отобра жение (преобразование) ( 216 ).
7.9-3. Отображение #CONT_7.9-1# ( 217 ).
7.9-4. Интеграл Шварца — Кристоффеля ( 217 ).
7.9-5. Таблица отображений ( 218 ).
7.9-6. Функции, отображающие специальные области на единичный круг ( 227 ).
// ]
ГЛАВА 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
// [
8.1. Вводные замечания ... 223
8.2.Преобразование Лапласа ... 223
8.2-1. Определение ( 228 ).
8.2-2. Абсолютная сходимость ( 228 ).
8.2-3. Область определения ( 229 ).
8.2-4. Достаточные условия существования преобразования Лапласа ( 229 ).
8.2-5. Обратное преобразование Лапласа ( 229 ).
8.2-6. Теорема обращения ( 229 ).
8.2-7. Существование обратного преобразования Лапласа ( 230 ).
8.2-8. Единственность преобразования Лапласа п его обращения ( 230 ).
8.3. Соответствие между операциями над оригиналами н изображениями . . . 230
8.3-1. Таблица соответствия операций ( 230 ).
8.3-2. Преобразования Лапласа периодических функций н
произведений оригиналов на синус или косинус ( 230 ).
8.3-3. Преобразование произведения (теорема о свертке) ( 233 ).
8.3-4. Предельные теоремы ( 233 ).
8.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных
преобразований Лапласа ... 234
8.4-1. Таблицы преобразования Лапласа ( 234 ).
8.4-2. Вычисление обратных преобразований Лапласа ( 234 ).
8.4-3. Применение контурного интегрирования ( 234 ).
8.4-4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных
алгебраических функций: разложение Хевисайда ( 234 ).
8.4-5. Обратное преобразование Лапласа для рациональных
лгебраических функций: разложение на простейшие дроби ( 252 ).
8.4-6 Разложения в ряды ( 252 ).
8.4-7. Разложения по степеням t ( 253 ).
8.4-8. Разложения по многочленам Лагерра ( 253 ).
8.4-9. Разложения в асимптотические ряды ( 254 ).
8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций ... 255
8.6. Некоторые другие функциональные преобразования ... 256
8.6-1. Вводные замечания ( 256 ).
8.6-2. Двустороннее преобразование Лапласа ( 256 ).
8.6-3 Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса ( 256 ).
8.6-4. Преобразования Ганкеля и Фурье — Бесселя ( 258 ).
8.7. Конечные интегральные преобразования, производящие функции
и г-преобразование ... 260
8.7-1. Ряды как функциональные преобразования. Конечные
преобразования Фурье н Ганкеля ( 260 ).
8.7-2. Производящие функции ( 260 ).
8.7-3. г-преобразованне. Определение и формула обращения ( 263 ).
// ]
ГЛАВА 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
// [
9.1. Введенне ... 253
9.1-1. Вводные замечания ( 265 ).
9.1-2. Обыкновенные дифференциальные уравнения ( 265 ).
9.1-3. Системы дифференциальных уравнений ( 266 ).
9.1-4. Существование решений ( 266 ).
9.1-5. Общие указания ( 266 ).
9.2. Уравнения первого порядка ... 203
9.2-1. Существование и единственность решений ( 266 ).
9.2-2. Геометрическое толкование. Особые интегралы ( 267 ).
9.2-3. Преобразование переменных ( 268 ).
9.2-4. Решение специальных типов уравнений первого порядка ( 268 ).
9.2-5. Общие методы интегрирования ( 270 ).
9.З Линейные дифференциальные уравнения ... 271
9.3-1. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения ( 271 ).
9.3-2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений ( 271 ).
9.3-3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грииа ( 272 ).
9.3-4. Приведение двухточечных краевых задач к задачам Коши ( 275 ).
9.3-5. Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области.
Тейлоровские разложения решения н влияние особенностей ( 275 ).
9.3-6. Решение однородных уравнений путем разложения в ряд
в окрестности правильной особой точки ( 276 ).
9.3-7. Методы интегральных преобразований ( 277 ).
9.3-8. Линейные уравнения второго поряцча ( 278 ).
9.3-9. Гнпергеометрическое дифференциальное уравнение Гаусса
и Р-уравнеие Римана ( 279 ).
9.3-10. Вырожденные гнпергеометрические функции ( 282 ).
9.3-11. Обобщенные гипергеометрические ряды ( 283 ).
9.4.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 283
9.4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами ( 283 ).
9.4-2. Неоднородные уравнения ( 285 ).
9.4-3. Свертки и функции Грина( 286 ).
9.4-4. Устойчивость ( 287 ).
9.4-5. Операторный метод решения ( 288 ).
9.4-6. Периодические внешние нагрузки и решения ( 289 ).
9.4-7. Передаточные функции и частотные характеристики ( 290 ).
9.4-8. Нормальные координаты и собственные колебания ( 291 ).
9.5.Нелинейные уравнения второго порядка... 292
9.5-1. Вводные замечания ( 292 ).
9.5-2. Представление на фазовой плоскости.
Графический метод решения ( 292 ).
9.5-3. Особые точки и предельные циклы ( 293 ).
9.5-4. Устойчивость решений по Ляпунову ( 294 ).
9.5-5. Приближенный метод Крылова н Боголюбова ( 296 ).
9.5-6. Интеграл живых сил ( 297 ).
9.6.Дифференциальные уравнения Пфаффа... 298
9.6-1. Дифференциальные уравнения Пфаффа ( 298 ).
9.6-2. Вполне интегрируемый случай ( 298 ).
// ]
ГЛАВА 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
// [
10.1.Введение н обзор... 299
10.1-1. Вводные замечания ( 299 ).
10.1-2. Дифференциальные уравнения с частными производными ( 299 ).
10.1-3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными:
разделение переменных ( 300 ).
10.2.Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 301
10.2-1. Уравнения с двумя независимыми переменными.
Геометрическая интерпретация ( 301 ).
10.2-2. Задача с начальными условиями (задача Коши) ( 302 ).
10.2-3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы;
решения характеристических уравнений ( 303 ).
10.2-4. Уравнения с п независимыми переменными ( 304 ).
10.2-5. Преобразования соприкосновения ( 306 ).
10.2-6. Канонические уравнения и канонические преобразования ( 307 ).
10.2-7. Уравнение Гамильтона — Якоби. Решение канонических уравнений ( 310 ).
10.3.Гиперболические, параболические и эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными. Характеристики... 312
10.3-1. Квазилинейные уравнения с частными производными второго
порядка с двумя независимыми переменными. Характеристики ( 312 ).
10.3-2. Решение гиперболических уравнении методом характеристик ( 313 ).
10.3-3. Преобразование гиперболических, параболических и эллиптических
уравнении к каноническому виду ( 314 ).
10.3-4. Типичные краевые задачи для уравнения: второго порядка ( 315 ).
10.3-5. Одномерное волновое уравнение ( 316 ).
10.3-6. Метод Римана — Вольтерра для линейных гиперболических уравнений ( 317 ).
10.3-7. Уравнения с треыя н более независимыми переменными ( 318 ).
10.4.Линейные уравнения математической физики. Частные решения... 319
10.4-1. Физические основы и обзор ( 319 ).
10.4-2. Линейные краевые задачи ( 321 ).
10.4-3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай ( 322 ).
10.4-4. Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольца ( 324 ).
10.4-5. Частные решения двумерных задач ( 325 ).
10.4-6. Уравнение Шредипгера ( 326 ).
10.4-7. Частные решения для уравнения теплопроводности и диффузии ( 326 ).
10.4-8. Частные решения для волнового уравнения. Синусоидальные волны ( 326 ).
10.4-9. Решение краевой задачи разложением в ортогональные ряды. Примеры ( 328 ).
10.5.Метод интегральных преобразований... 329
10.5-1. Общая теория ( 329 ).
10.5-2. Преобразование Лапласа по временной переменной ( 330 ).
10.5-3. Решение краевых задач методом интегральных преобразований. Примеры ( 331 ).
10.5-4. Формулы Дюамеля ( 332 ).
// ]
ГЛАВА 11. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ.
// [
11.1.Вводные замечания... 333
11.2.Экстремумы функций одного действительного переменного... 333
11-2-1. Локальные максимумы и минимумы ( 333 ).
11.2-2. Условия существования внутренних максимумов н минимумов ( 333 ).
11.3.Экстремумы функций двух и большего числа действительных переменных 334
11.3-1. Локальные максимумы н минимумы ( 334 ).
11.3-2. Формула Тейлора для приращения функции ( 334 ).
11.3-3. Условия существования внутренних максимумов и минимумов ( 334 ).
11.3-4. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа ( 335 ).
11.3-5. Численные методы ( 336 ).
11.4.Линейное программирование, игры и смежные вопросы... 338
11.4-1. Задача линейного программирования ( 336 ).
11.4-2. Симплекс-метод ( 339 ).
11.4-3. Нелинейное программирование. Теорема Куна — Такера ( 342 ).
11.4-4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой ( 342 ).
11.5.Вариационное исчисление. Максимумы и минимумы определенных интегралов... 344
11.5-1. Вариации ( 344 ).
11.5-2. Максимумы и минимумы определенных интегралов ( 345 ).
11.5-3. Решение вариационных задач ( 346 ).
11.6.Экстремали как решения дифференциальных уравнений: классическая теория... 346
11.6-1. Необходимые условия максимумов н ммиимумоз ( 346 ).
11.6-2. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа ( 348 ).
11.6-3. Изопернметрические задачи ( 349 ).
11.6-4. Решение вариационных задач в случае, когда подынтегральная
функция содержит производные высших порядков ( 350 ).
11.6-5. Вариационные задачи с неизвестными граничными значениями и
неизвестными пределами интегрирования ( 350 ).
11.6-6. Задачи Больца и Манера ( 351 ).
11.6-7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и односторонние
экстремумы ( 352 ).
11.6-8. Канонические уравнения н уравнение Гамильтона — Якоби ( 353 ).
11.6-9. Вариационные задачи в случае нескольких независимых переменных:
максимумы и минимумы кратных интегралов ( 354 ).
11.6-10. Достаточные условия для максимума и минимума в простейшей задаче ( 355 ).
11.7.Решение вариационных задач прямыми методами ... 356
11.7-1. Прямые методы ( 356 ).
11.7-2. Метод Релея — Рнтца ( 357 ).
11.7-3. Приближение у (х) полигональными функциями ( 357 ).
11.8.Задачи управления и принцип максимума... 357
11.8-1. Постановка задачи ( 357 ).
11.8-2. Принцип максимума Понтрягина ( 360 ).
11.8-3. Примеры ( 362 ).
11.8-4. Матричные обозначения в задачах управления ( 364 ).
11.8-5. Ограничения-неравенства для переменных состояния. Угловые условия ( 365 ).
11.8-6. Метод динамического программирования ( 366 ).
11.9.Шаговые задачи управления и динамическое программирование... 3G5
11.9-1. Постановка задачи ( 366 ).
11.9-2. Принцип оптимальности Беллмана ( 367 ).
// ]
ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ:
СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
// [
12.1.Вводенпе... 363
12.1-1. Математические модели ( 368 ).
12.1-2. Обзор ( 369 ).
12.1-3. «Равенство» и отношения эквивалентности ( 369 ).
12.1-4. Преобразования, функции, операции ( 369 ).
12.1-5. Инвариантность ( 370 ).
12.1-6. Представление одной модели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы ( 370 ).
12.2.Алгебра моделей с одной определяющей операцией: группы ... 371
12.2-1. Определение и основные свойства группы ( 371 ).
12.2-2. Подгруппы ( 371 ).
12.2-3. Циклические группы. Порядок элемента группы ( 372 ).
12.2-4. Произведения подмножеств. Смежные классы ( 372 ).
12.2-5. Сопряженные элементы н подгруппы. Нормальные делители.
Фактор-группы ( 372 ).
12.2-6. Нормальный ряд. Композиционный ряд ( 372 ).
12.2-7. Центр. Нормализаторы ( 373 ).
12.2-8. Группы преобразований нлн операторов ( 373 ).
12.2-9. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп ( 373 ).
12.2-10.Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость ( 374 ).
12.3. Алгебра моделей с двумя определяющими операциями: кольца,
поля и области целостности ... 374
12.3-1. Определения и основные теоремы ( 374 ).
12.3-2. Подкольца и подполя. Идеалы ( 375 ).
12.3-3. Расширения ( 375 ).
12.4.Модели, включающие в себя более одного класса математических
объектов: линейные векторные пространства н линейные алгебры... 375
12.4-1. Линейные векторные пространства ( 375 ).
12.4-2. Линейные алгебры ( 376 ).
12.5.Модели, допускающие определение предельных процессов ?
топологические пространства... 377
12.5-1. Топологические пространства ( 377 ).
12.5-2. Метрические пространства ( 378 ).
12.5-3. Топология, окрестности и сходимость в метрическом пространстве ( 378 ).
12.5-4. Метрические пространства со специальными свойствами.
Теория точечных множеств ( 379 ).
12.5-5. Примеры: пространства числовых последовательностей н функций ( 380 ).
12.5-6. Теорема Банаха о сжатых отображениях и
последовательные приближения ( 382 ).
12.6.Порядок... 382
12.6-1. Частично упорядоченные множества ( 382 ).
12.6-2. Линейно упорядоченные множества ( 382 ).
12.6-3. Упорядоченные поля ( 383 ).
12.7.Комбинации моделей; прямое произведение, топологическое
произведение и прямая сумма... 383
12.7-1 Декартово произведение ( 383 ).
12.7-2. Прямое произведение групп ( 383 ).
12.7-3. Прямое произведение действительных векторных пространств ( 383 ).
12.7-4. Топологическое произведение ( 384 ).
12.7-5. Прямая сумма ( 384 ).
12.8.Булевы алгебры... 384
12.8-1. Булевы алгебры ( 384 ).
12.8-2. Булевы функции. Приведение к каноническому виду ( 385 ).
12.8-3. Отношение включения ( 386 ).
12.8-4. Алгебра классов ( 386 ).
12.8-5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Веииа ( 386 ).
12.8-6. Алгебры событий и символическая логика ( 387 ).
12.8-7. Представление булевых функций истинностными таблицами.
Карты Карно ( 3S9 ).
12.8-8. Полная аддитивность. Алгебры меры ( 389 ).
// ]
ГЛАВА 13. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ .
// [
13.1.Вводные замечания... 390
13.2.Алгебра матриц и матричное исчисление... 390
13.2-1. Прямоугольные матрицы ( 390 ).
13.2-2. Основные операции ( 392 ).
13.2-3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы ( 393 ).
13.2-4. Целочисленные степени квадратных матриц ( 393 ).
13.2-5. Матрицы как строительные блоки математических моделей ( 393 ).
13.2-6. Умножение на матрицы специального вида. Матрицы перестановки ( 394 ).
13.2-7. Ранг, след и определитель матрицы ( 394 ).
13.2-8. Разбиение матриц ( 394 ).
13.2-9. Клеточные матрицы. Прямые суммы ( 395 ).
13.2-10. Прямое (внешнее) произведение матриц ( 395 ).
13.2-11. Сходимость и дифференцирование ( 395 ).
13.2-12. Функции матриц ( 395 ).
13.3.Матрицы со специальными свойствами симметрии... 396
13.3-1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица ( 396 ).
13.3-2. Матрицы со специальными свойствами симметрии ( 396 ).
13.3-3. Правила комбинирования ( 396 ).
13.3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы ( 397 ).
13.4.Эквивалентные матрицы, собственные значения, приведение
к диагональному виду н смежные вопросы... 398
13.4-1. Эквивалентные и подобные матрицы ( 398 ).
13.4-2. Собственные значения и спектры квадратных матриц ( 398 ).
13.4-3. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду.
Алгебраическая кратность собственного значения ( 399 ).
13.4-4. Приведение матриц к диагональному виду ( 399 ).
13.4-5. Собственные значения и характеристическое уравнение матрицы ( 400 ).
13.4-6. Собственные значения клеточных матриц (прямых) сумм ( 401 ).
13.4-7. Теорема Кэлн — Гамильтона и смежные вопросы ( 401 ).
13.5.Квадратичные и эрмитовы формы... 401
13.5-1. Билинейные формы ( 401 ).
13.5-2. Квадратичные формы ( 401 ).
13.5-3. Эрмитовы формы ( 402 ).
13.5-4. Преобразование квадратичных и эрмитовых форм. Приведение
к сумме квадратов ( 402 ).
13.5-5. Одновременное приведение двух кзадратичных или эрмитовых
форм к сумме квадратов ( 404 ).
13.5-6. Признаки положительной определенности, неотрицательности и т. д. ( 404 ).
13.6.Матричные обозначения для систем дифференциальных уравнении
(динамических систем). Возмущения и теория устойчивости Ляпунова... 405
13.6-1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Матричные обозначения ( 405 ).
13.6-2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ( 406 ).
13.6-3. Линейные системы с переменными коэффициентами ( 407 ).
13.6-4. Методы возмущений и уравнения в вариациях ( 408 ).
13.6-5. Устойчивость решений: определения ( 409 ).
13.6-6. Функции Ляпунова и устойчивость ( 410 ).
13.6-7. Приложения и примеры ( 411 ).
// ]
ГЛАВА 14. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЬСКНХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ .
// [
14.1.Введение. Системы отсчета и преобразования координат... 414
14.1-1. Вводные замечания ( 414 ).
14.1-2. Числовое описание математических моделей: системы отсчета ( 414 ).
14.1-3. Преобразования координат ( 414 ).
14.1-4. Инвариантность ( 415 ).
14.1-5. Системы мер ( 415 ).
14.2.Линейные векторные пространства... 415
14.2-1. Определяющие свойства ( 415 ).
14.2-2. Линейные многообразия и подпространства в #CONT_14.2-2# ( 416 ).
14.2-3. Линейно независимые и линейно зависимые векторы ( 416 ).
14.2-4. Размерность линейного многообразия или векторного пространства.
Базисы и системы координат (системы отсчета) ( 116 ).
14.2-5. Нормированные векторные пространства ( 417 ).
14.2-6. Унитарные векторные пространства ( 417 ).
14.2-7. Норма, метрика и сходимость в унитарных векторных пространствах.
Гильбертовы пространства ( 418 ).
14.2-8. Теорема о проекции ( 419 ).
14.3.Линейные преобразования (линейные операторы)... 419
14.3-1. Линейные преобразования векторных пространств.
Линейные операторы ( 419 ).
14.3-2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобразования
(оператора) ( 419 ).
14.3-3. Сложение и умножение иа скаляры. Нулевое преобразование ( 420 ).
14.3-4. Произведение двух линейных преобразований (операторов).
Тождественное преобразование ( 420 ).
14.3-5. Невырожденные линейные преобразования (операторы).
Обратные преобразования (операторы) ( 420 ).
14.3-6. Целые степени операторов ( 420 ).
14.4.Линейные операторы в нормированном или гильбертовом пространстве.
Эрмитовы и унитарные операторы... 421
14.4-1. Ограниченные линейные преобразования ( 421 ).
14.4-2. Ограниченные линейные операторы в нормированном
векторном пространстве ( 421 ).
14.4-3. Сопряженный оператор ( 421 ).
14.4-4. Эрмитовы операторы ( 422 ).
14.4-5. Унитарные операторы ( 422 ).
14.4-6. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы
в действительных унитарных векторных пространствах ( 422 ).
14.4-7. Правила комбинирования ( 423 ).
14.4-8. Теоремы о разложении. Нормальные операторы ( 423 ).
14.4-9. Сопряженные векторные пространства. Более общее определение
сопряженных операторов ( 424 ).
14.4-10. Бесконечно малые линейные преобразования ( 424 ).
14.5.Матричное представление векторов и линейных преобразований (операторов) ... 425
14.5-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов:
«активная» точка зрения ( 425 ).
14.5-2. Матричное представление векторов н линейных преобразований (операторов) ( 426 ).
14.5-3. Матричные обозначения для систем линейных уравнений ( 426 ).
14.5-4. Днадическое представление линейных операторов ( 427 )...
14.6.Замена системы координат... 427
14.6-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов:
«пассивная» точка зрения ( 427 ).
14.6-2. Представление линейного оператора в различных базисах ( 428 ).
14.6-3. Последовательное применение операторов ( 128 ).
14.7.Представление скалярного произведения. Ортонормнрованные базисы . . . 429
14.7-1. Представление скалярного произведения ( 429 ).
14.7-2. Замена системы координат ( 430 ).
14.7-3. Ортогональные векторы и ортоиормированиые системы векторов ( 430 ).
14.7-4. Ортонормированные базисы (полные ортонормнрованные системы) ( 430 ).
14.7-5. Матрицы соответствующие сопряженным операторам ( 431 ).
14.7-6. Взаимные базисы ( 432 ).
14.7-7. Сравнение обозначений ( 433 ).
14.8.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов . . . 433
14.8-1. Вводные замечания ( 433 ).
14.8-2. Инвариантные многообразия. Разложимые линейные преобразования
(линейные операторы) и матрицы ( 433 ).
14.8-3. Собственные векторы, собственные значения и спектр ( 434 ).
14.8-4. Собственные векторы и собственные значения нормальных
и эрмитовых операторов ( 435 ).
14.8-5. Определение собственных значений и собственных векторов:
конечномерный случай ( 436 ).
14.8-6. Приведение и диагонализацня матриц. Преобразование к главным осям ( 437 ).
14.8-7. «Обобщенная» задача о собственных значениях ( 439 ).
14.8-8. Задачи о собственных значениях как задачи о стационарных значениях ( 439 ).
14.8-9. Границы для собственных значений линейных операторов ( 441 ).
14.8-10. Неоднородные линейные векторные уравнения ( 442 ).
14.9. Представления групп и смежные вопросы... 443
14.9-1. Представления групп ( 443 ).
14.9-2. Приведение представлений ( 443 ).
14.9-3. Неприводимые представления группы ( 444 ).
14.9-4. Характер представления ( 445 ).
14.9-5. Соотношения ортогональности ( 445 ).
14.9-G. Прямые произведения представлений ( 446 ).
14.9-7. Представления колец, полей и линейных алгебр ( 446 ).
14.10. Математическое описание вращении... 446
14.10-1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве ( 446 ).
14.10-2. Угол поворота. Ось вращения ( 447 ).
14.10-3. Параметры Эйлера и вектор Гиббса ( 448 ).
14.10-4. Представление векторов и вращении спиновыми матрицами и
кватернионами. Параметры Кэли — Клейна ( 448 ).
14.10-5. Вращения вокруг осей координат ( 449 ).
14.10-6. Углы Эйлера ( 450 ).
14.10-7. Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение и угловая скорость ( 452 ).
14.10-8. Группа трехмерных вращений н ее представления ( 454 ).
// ]
ГЛАВА 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И
ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ .
// [
15.1.Введение. Функциональный анализ... 456
15.1-1. Вводные замечания ( 456 ).
15.1-2. Обозначения ( 456 ).
15.2.Функции как векторы. Разложения по ортогональным функциям... 457
15.2-1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное
произведение и нормирование ( 457 ).
15.2-2. Метрика и сходимость в L2. Сходимость в среднем ( 458 ).
15.2-3. Ортогональные функции и ортонормированные последовательности функций ( 459 ).
15.2-4. Полные ортонормированные последовательности функций,
Ортонормированные базисы ( 459 ).
15.2-5. Ортогонализация н нормирование последовательности функций ( 460 ).
15.2-6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям ( 460 ).
15.2-7. Линейные операции над функциями ( 460 ).
15.3.Линейные интегральные преобразования и линейные интегральные уравнения ... 461
15.3-1. Линейные интегральные преобразования ( 461 ).
15.3-2. Линейные интегральные уравнения. Обзор ( 462 ).
15.3-3. Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Собственные функции и собственные значения ( 463 ).
15.3-4. Теоремы разложения ( 463 ).
15.3-5. Итерированные ядра ( 464 ).
15.3-6. Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных значениях
как вариационная задача ( 465 ).
15.3-7. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода ( 465 ).
15.3-8. Решение линейного интегрального уравнения ( 167 ).
15.3-9. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода ( 468 ).
15.3-10. Интегральнее уравнения Вольтерра ( 469 ).
15.4.Линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для
дифференциальных уравнений ... 470
15.4-1 Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения ( 170 ).
15.4-2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия для
линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции ( 470 ).
15.1-3. Эрмитово сопряженные и сопряженные краевые задачи.
Эрмитовы оператора ( 471 ).
15.4-4. Георема Фредгольма об альтернативе ( 473 ).
15.4-5. Задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений ( 473 ).
15.4-6. Собственные значения и собственные функции зрмитоиой
задачи о собственных значениях. Полные ортонормированные множества
собственных функций ( 474 ).
15.4-7. Эрмитова задача о собственных значениях как вариационная задача ( 475 ).
15.4-8. Одномерная задача Штурма — Лиувилля о собственных значениях ( 476 ).
15.4-9. Задача Штурма — Лиувилля для уравнений с частными производными
второго порядка ( 477 ).
15 4-10. Теоремы сравнения ( 477 ).
15.4-11. Решение дискретных задач о собственных значениях методами возмущений ( 478 ).
15.4-12. Решение краевых задач посредством разложений в ряды пэ собственным функциям ( 479 ).
15.5.Функции Грнна. Связь краевых задач и задач о собственных значениях
с интегральными уравнениями... 480
15.5-1. Функции Грина для краевой задачи с однородными краевыми условиями ( 480 ).
15.5-2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными
уравнениями. Резольвента Грина ( 481 ).
15,5-3. Приложение метода функций Грина к задаче с начальными условиями:
обобщенное уравнение диффузии ( 482 ).
15.5-4. Метод функций Грниа для неоднородных краевых условий ( 483 ).
15.6. Теория потенциала... 484
15.6-1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа н Пуассона ( 484 ).
15.6-2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия задачи ( 484 ).
15.6-3. Теорема Кельвина об ннверснн ( 485 ).
15.6-4. Свойства гармонических функции ( 485 ).
15.6-5. Решения уравнении Лапласа и Пуассона как потенциалы ( 486 ).
15.6-6. Решение трехмерных краевых задач посредством функций Грнна ( 488 ).
15.6-7. Двумерная теория потенциала. Логарифмический потенциал ( 490 ).
15.6-8. Двумерная теория потенциала; сопряженные гармонические функции ( 490 ).
15.6-9. Решение двумерных краевых задач. Функции Грина н конформные
отображения ( 492 ).
15.6-10. Распространение теории на более общие дифференциальные уравнения.
Запаздывающие и опережающие потенциалы ( 493 ).
// ]
ГЛАВА 16. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ.
// [
16.1.Введение... 494
16.1-1. Вводные замечания ( 494 ).
16.1-2. Системы координат и допустимые преобразования ( 494 ).
16.1-3. Компоненты объектов. Индексные обозначе ния ( 494 ).
16.1-4. Системы отсчета н индуцированные преобразования.
Геометрические объекты ( 495 ).
16.2.Абсолютные (истинные) тензоры и относительные тензоры (псевдотензоры)... 498
16.2-1. Определение абсолютных и относительных тензоров, основанное
на законе преобразования их компонент ( 496 ).
16.2-2. Йнфннитезнмальное перемещение. Градиент скалярного поля ( 498 ).
16.3.Тензорная алгебра: определение основных операций ... 499
16.3-1. Равенство тензоров ( 499 ).
16.3-2. Нуль-тензор ( 499 ).
16.3-3. Сложение тензоров ( 499 ).
16.3-4. Умножение тензора на абсолютный скаляр ( 499 ).
16.3-5. Свертывание смешанного тензора ( 499 ).
16.3-6. Произведение (внешнее) дзух тензоров ( 500 ).
16.3-7. Внутреннее произведение ( 500 ).
16.3-8. Признак тензора ( 500 ).
16.4.Тензорная алгебра. Инвариантность тензорных уравнений... 501
16.4-1. Инвариантность тензорных уравнений ( 501 ).
16.5.Симметричные н антисимметричные тензоры... 502
16.5-1. Симметричные и антисимметричные объекты ( 502 ).
16.5-2. Символы Кронекера ( 502 ).
16.5-3. е-объекты (символы Леви-Чивнта) ( 503 )."?"
16.5-4. Альтернированное произведение двух векторов ( 503 ).
16.6.Локальная система базисных векторов (локальный базис)... 504
16.6-1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального базиса ( 504 ).
16.6-2. Преобразование локального базиса при преобразовании коордннат ( 504 ).
16.7.Тензоры в рнмановых пространствах. Ассоциированные тензоры... 505
16.7-1. Рнманово пространство н фундаментальные тензоры ( 505 ).
16.7-2. Ассоциированные тензоры. Поднятие и опускание индексов ( 506 ).
16.7-3. Эквивалентность ассоциированных тензоров ( 506 ).
16.7-4. Операции над тензорами в риманОБЫх пространствах ( 507 ).
16.8.Скалярное произведение векторов н связанные с ннм понятия... 507
16.8-1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов
в римановом пространстве ( 507 ).
16.8-2. Скалярные произведения локальных базисных векторов.
Ортогональная система координат ( 507 ).
16.8-3. Физические компоненты тензора ( 508 ).
16.8-4. Векторное произведение н смешанное произведение ( 508 ).
16.9.Тензоры ранга 2. в римаиовом пространстве... 509
16.9-1. Днадные произведения ( 509 ).
16.9-2. Умножение тензоров ранга 2 и векторов и связанная с ним
система обозначений ( 510 ).
16.9-3. Собственные векторы н собственные значения ( 510 ).
16.10. Абсолютное дифференциальное исчисление. Коварнантное
дифференцирование ... 510
16.10-1. Абсолютные дифференциалы ( 510 ).
16.10-2. Абсолютный дифференциал относительного тензора ( 512 ).
16.10-3. Символы Крнстоффеля ( 512 ).
16.10-4. Ковариантное дифференцирование ( 513 ).
16.10-5. Правила ковариантного дифференцирования ( 514 ).
16.10-6. Ковариантиые производные высших порядков ( 514 ).
16.10-7. Дифференциальные операторы и дифференциальные инварианты ( 515 ).
16.10-8. Абсолютные (внутренние) проиаводные и производные по направлению ( 515 ).
16.10-9. Тензоры, постоянные вдоль кривой. Уравнения параллелизма ( 517 ).
16.10-10. Интегрирование тензорных величин. Элемент объема ( 517 ).
16.10-11. Дифференциальные инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы ( 517 ).
// ]
ГЛАВА 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ .
// [
17.1.Кривые на евклидовой плоскости... 518
17.1.1. Касательная к плоской кривой ( 518 ).
17.1-2. Нормаль к плоской кривой ( 518 ).
17.1-3. Особые точки ( 519 ).
17.1-4. Кривизна плоской кривой (»19 ).
17.1-5. Порядок касания плоских кривых ( 520 ).
17.1-6. Асимптоты ( 520 ).
17.1-7. Огибающая семейства плоских кривых ( 520 ).
17.1-8. Изогональные траектории ( 520 ).
17.2.Кривые в трехмерном евклидовом пространстве... 521
17.2-1. Вводные замечания ( 521 ).
17.2-2. Подвижной трехгранник ( 521 ).
17.2-3. Формулы Фроне — Серре. Кривизна и кручение пространственной кривой ( 522 ).
17.2-4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; уравнения соприкасающейся,
нормальной и спрямляющей плоскостей ( 523 ).
17.2-5. Дополнительные замечания ( 523 ).
17.2-6. Порядок касания ( 524 ).
17.3.Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве... 524
17.3-1. Вводные замечания ( 524 ).
17.3-2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ( 524 ).
17.3-3. Первая основная квадратичная форма поверхности. Дифференциал
длины дуги и элемент площади ( 525 ).
17.3-4. Геодезическая и нормальная кривизна криной на поверхности.
Теорема Менье ( 526 ).
17.3-5. Вторая основная квадратичная формам Главные кривизны, гауссова
кривизна и средняя кривизна ( 527 ).
17.3-6. Некоторые направления и кривые па поверхности. Минимальные
поверхности ( 528 ).
17.3-7. Поверхности как римановы пространства. Трехиндексные символы
Кристоффеля и параметры Бельтрами ( 529 ).
17.3-8. Уравнения с частными производными, связывающие коэффициенты
основных квадратичных форм. Theorema Egregium Гаусса ( 530 ).
17.3-9. Определение поверхности коэффициентами ее основных квадратичных форм ( 530 ).
17.3-10. Отображения ( 530 ).
17.3-11. Огибающие ( 531 ).
17.3-12. Геодезические линии поверхности ( 531 ).
17.3-13. Геодезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности ( 532 ).
17.3-14. Теорема Гаусса — Бонне ( 533 ),
17.4.Пространства с кривизной... 533
17.4-1. Вводные замечания ( 533 ).
17.4-2. Кривые, длины и направления в римановом пространстве ( 533 ).
17.4-3. Геодезические линии в рнмановом пространстве ( 534 ).
17.4-4. Римановы пространства с неопределенной метрикой. Изотропные
направления и геодезические нулевой длины ( 535 ).
17.4-5. Тензор кривизны рнманова пространства ( 535 ).
17.4-6. Геометрическое истолкование тензора кривизны. Плоские пространства
и евклидовы пространства ( 536 ).
17.4-7.Специальные координатные системы ( 537 ).
// ]
ГЛАВА 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ .
// [
18.1.Введение... 539
18.1-1. Вводные замечания ( 539 ).
18.2.Определение и представление вероятностных моделей... 539
18.2-1. Алгебра событий, связанных с данным испытанием ( 539 ).
18.2-2. Определение вероятности. Условные вероятности ( 540 ).
18.2-3. Независимость случайных событий ( 540 ).
18.2-4. Сложные испытания. Независимые испытания и повторные
независимые испытания ( 540 ).
18.2-5. Правила сочетаний ( 541 ).
18.2-6. Теоремы Байеса ( 542 ).
18.2-7. Представление событий как множеств в пространстве выборок ( 542 ).
18.2-8. Случайные величины ( 542 ).
18.2-9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и
их функций распределения ( 542 ).
18.3.Одномерные распределения вероятностей... 543
18.3-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей ( 543 ).
18.3-2. Непрерывные одномерные распределения вероятностей ( 543 ).
18.3-3. Математическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики
одномерного распределения вероятностей ( 544 ).
18.3-4. Нормирование ( 546 ).
18.3-5. Неравенство Чебышева и связанные с ним формулы ( 546 ).
18.3-6. Единое описание Распределеннй вероятностей с помощью
интеграла Стилтьеса ( 546 ).
18.3-7. Моменты одномерного распределения вероятностей ( 547 ).
18.3-8. Характеристическне и производящие функции ( 548 ).
18.3-9. Семиинварианты ( 549 ).
18.3-10. Вычисление моментов и семиинвариантов через #CONT_18.3-10a#
#CONT_18.3-10b# и #CONT_18.3-10c# Соотношения между моментами и семиинвариантами ( 549 ).
18.4.Многомерные распределения вероятностей ... 550
18.4-1. Многомерные случайные величины ( 550 ).
18.4-2. Двумерные распределения вероятностей. Распределения координат
случайной величины ( 550 ).
18.4-3. Дискретные и непрерывные двумерные распределения вероятностей ( 550 ).
18.4-4. Математическое ожидание, моменты, ковариацня и
коэффициент корреляции ( 551 ).
18.4-5. Условные распределения вероятностей, связанные с двумя
случайными величинами ( 552 ).
18.4-6. Регрессии ( 553 ).
18.4-7. n-мерные распределения вероятностей ( 553 ).
18.4-8. Математические ожидания и моменты ( 555 ).
18.4-9. Регрессия. Коэффициенты корреляции ( 556 ).
18.4-10. Характеристические функции ( 557 ).
18.4-11. Независимость случайных величин ( 557 ).
18.4-12. Энтропия распределения вероятностей ( 558 ).
18.5.Функции от случайных величин. Замена переменных... 559
18.5-1. Вводные замечания ( 559 ).
18.5-2. Функции (или преобразования) одномерной случайной величины ( 559 ).
18.5-3. Линейные преобразования одномерной случайной величины ( 560 ).
18.5-4. Функции (или преобразозаиия) многомерных случайных величин ( 561 ).
18.5-5. Линейные преобразования ( 562 ).
18.5-6. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин ( 562 ).
18.5-7. Суммы независимых случайных величин ( 563 ).
18.5-8. Распределение суммы случайного количества случайных величин ( 564 ).
18.6.Сходимость по вероятности и предельные теоремы... 561
18.6-1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по
вероятности ( 564 ).
18.6-2. Пределы функций распределения, характеристических ? производящих функций.
Теоремы непрерывности ( 564 ).
18.6-3. Сходимость в среднем ( 565 ).
18.6-4. Асимптотически нормальные распределения вероятностей ( 565 ).
18.6-5. Предельные теоремы ( 565 ).
18.7.Специальные методы решения вероятностных задач... 566
18.7-1. Вводные замечания ( 566 ).
18.7-2. Задачи с дискретным распределением вероятностей:
подсчет событий и комбинаторный анализ ( 567 ).
18.7-3. Применение производящих функций. Теорема Пойа ( 569 ).
18.7-4. Задачи с дискретным распределением вероятностей:
успехи и неудачи в составляющих испытаниях ( 571 ).
18.8.Специальные распределения вероятностей... 571
18.8-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей ( 571 ).
18.8-2. Дискретные многомерные распределения вероятностей ( 573 ).
18.8-3. Непрерывные распределения вероятностей: нормальное
распределение (Гаусса) ( 575 ).
18.8-4. Нормальные случайные величины: распределение отклонений от центра ( 576 ).
18.8-5. Различные непрерывные одномерные распределения вероятностей ( 582 ).
18.8-6. Двумерные нормальные распределения ( 582 ).
18.8-7. Круговое нормальное распределение ( 583 ).
18.8-8. n-мерные нормальные распределения ( 583 ).
18.8-9. Теоремы сложения для специальных распределений ( 583 ).
18.9.Теория случайных процессов... 581
18.9-1. Случайные процессы ( 584 ).
18.9-2. Описание случайных процессов ( 584 ).
18.9-3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функции ( 585 ).
18.9-4. Интегрирование н дифференцирование случайных функций ( 586 ).
18.9-5. Процессы, определяемые случайными параметрами ( 588 ).
18.9-6. Разложение по ортонормированной системе ( 588 ).
18.10.Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции и
спектральные плотности ... 589
18.10-1. Стационарные случайные процессы ( 589 ).
18.10-2. Корреляционные функции по множеству наблюдений ( 589 ).
18.10-3. Спектральная плотность по множеству наблюдений ( 590 ).
18.10-4. Корреляционные функции и спектры действительных процессов ( 590 ).
18.10-5. Спектральное разложение средней «мощности» действительных процессов ( 590 ).
18.10-6. Другие виды спектральной плотности по множеству наблюдений ( 591 ).
18.10-7. Средние по времени и эргоднческие процессы ( 591 ).
18.10-8. Корреляционные функции н спектральные плотности по времени ( 592 ).
18.10-9. Функции с периодическими компонентами ( 593 ).
18.10-10. Обобщенные преобразования Фурье н спектральные функции ( 595 ).
18.11.Типы случайных процессов. Примеры... 595
18.11-1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями ( 596 ).
18.11-2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова ( 598 ).
18.11-3. Гауссовские случайные процессы ( 599 ).
18.11-4. Марковские про цессы и процесс Пуассона ( 599 ).
18.11-5. Некоторые случайные процессы, порождаемые процессом Пуассона ( 601 ).
18.11-6. Случайные процессы, порождаемые периодической выборкой ( 602 ).
18.12. Действия над случайными процессами ... 603
18.12-1. Корреляцнонные функции и спектры сумм (603 ).
18.12-2. Соотношения между входным и иыходпым сигналами для линейных систем (604 ).
18.12-3. Стационарный случаи ( 604 ).
18.12-4. Соотношения для корреляцией" пых функции н спектров но времени ( 605 ).
18.12-5. Нелинейные операции ( 605 ).
13.12-6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами ( 606 ).
// ]
ГЛАВА 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
// [
19.1. Введение и статистические методы ... 607
19.1-1. Статистики ( 607 ).
19.1-2. Классическая зероятностная модель: статистики случайной выборки.
Понятие о генеральной совокупности ( 607 ).
19.1-3. Связь вероятностной модели с опытом: оценка и проверка ( 608 ).
19.2. Статистическое описание. Определение и вычисление статистик
случайной выборки ... 603
19.2-1. Относительные частоты ( 609 ).
19.2-2. Распределение выборки. Группированные данные ( 609 ).
19.2-3. Выборочные средние ( 610 ).
19.2-4. Выборочные дисперсии и моменты ( 611 ).
19.2-5. Упрощенное вычисление выборочных средних и дисперсий.
Поправка на группировку ( 612 ).
19.2-6. Размах выборки ( 613 ).
19.3. Типовые распределения вероятностей ... 613
19.3-1. Вводные замечания ( 613 ).
19.3-2. Класс распределении Кэптейна ( 613 ).
19.3-3. Ряды Грама — Шарлье и Эджворта ( 614 ).
19.3-4. Усеченные нормальные распределения и распределение Парето ( 611 ).
19.3-5. Типы распределении Пирсона ( 615 ).
19.4. Оценки параметров ... 615
19.4-1. Свойства оценок ( 615 ).
19.4-2. Некоторые свойства статистик, применяемых а качестве оценок ( 616 ).
19.4-3. Нахождение оценок. Метод мо ментов ( 617 ).
19.4-4. Метод наибольшего правдоподобия ( 617 ).
19.4-5. Другие методы нахождения оценок ( 618 ).
19.5. Выборочные распределения ... 618
19.5-1. Вводные замечания ( 618 ).
19.5-2. Асимптотически нормальные выборочные распределения ( 618 ).
19.5-3. Выборки из нормальной совокупности. Распределения #CONT_19.6-7# , t и #CONT_19.5-3a# ( 619 ).
19.5-4. Распределение размаха выборки ( 619 ).
19.5-5. Выборочный метод для конечной совокупности ( 620 ).
19.6. Проверка статистических гипотез ... 630
19.6-1. Статистические гипотезы ( 630 ).
19.6-2. Критерии с фиксированной выборкой; определения ( 630 ).
19.6-3. Уровень значимости. Правило Неймана — Пирсона отбора критериев
для простых гипотез ( 630 ).
19.6-4. Критерии значимости ( 632 ).
19.6-5. Доверительная область ( 632 ).
19.6-6. Критерии сравнения нормальных совокупностей. Дисперсионный анализ ( 631 ).
19.6-7. Критерий согласия #CONT_19.6-1# ( 637 ).
19.6-8. Непараметрическое сравнение двух совокупностей: критерий знаков ( 638 ).
19.6-9. Обобщения ( 638 ).
19.7. Некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для
многомерных распределений ... 633
19.7-1. Взодные замечания ( 638 ).
19.7-2. Статистики, получаемые на основе многомерных выборок ( 638 ).
19.7-3. Оценки параметров ( 639 ).
19.7-4. Выборочные распределения в случае нормальной совокупности ( 640 ).
19.7-5. Выборочная средняя квадратическая сопряженность прнзнакоз.
Критерий независимости дзух случайных величин, основанный на таблице
сопряженности признаков ( 642 ).
19.7-6. Порядковая корреляция по Спирмону. Непараметрпческий критерий
независимости ( 642 ).
19.8. Статистики и измерения случайного процесса ... 643
19.8-1. Средине по конечному промежутку зремени ( 643 ).
19.8-2. Усредняющие фильтры ( 644 ).
19.8-3. Примеры ( 645 ).
19.8-4. Выборочные средние ( 646 ).
19.9. Проверка и оценка в задачах со случайными параметрами ... 647
19.9-1. Постановка задачи ( 647 ).
19.9-2. Оценка и прозерка с помощью формул Байеса ( 648 ).
19.9-3. Случай двух состояний, проверка гипотез ( 618 ).
19.9-4. Оценки по методу наименьших квадратов ( 650 ).
// ]
ГЛАВА 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ.
// [
20.1.Введение... 652
20.1-1. Вводные замечания ( 652 ).
20.1-2. Ошибки ( 652 ).
20.2.Численное решение уравнений... 652
20.2-1. Вводные замечания ( 652 ).
20.2-2. Итерационные методы ( 653 ).
20.2-3. Вычисление значений многочлена ( 655 ).
20.2-4. Численное решение алгебраических уравнений. Итерационные методы ( 655 ).
20.2-5. Специальные методы решения алгебраических уравнений ( 656 ).
20.2-6. Системы уравнений и экстремальные задачи ( 659 ).
20.2-7. Градиентные методы ( 660 ).
20.2-8. Метод Ньютона и теорема Канторовича ( 661 ).
20.3.Системы линейных уравнений н обращение матриц. Собственные значения
и собственные векторы матриц... 662
20.3-1. Методы исключения ( 662 ).
20.3-2. Итерационные методы ( 663 ).
20.3-3. Обращение матриц ( 665 ).
20.3-4. Решение системы линейных уравнений н обращение матриц при помощи
разбиения на клетки ( 666 ).
20.3-5. Собственные значения н собственные векторы матриц ( 667 ).
20.4.Конечные разности и разностные уравнения... 6G8
20.4-1. Конечные разности н центральные средине ( 668 ).
20.4-2. Операторные обозначения ( 669 ).
20.4-3. Разностные уравнения ( 670 ).
20.4-4. Линейные обыкновенные разностные уравнения ( 671 ).
20.4-5. Линейные обыкновенные разностные уравнения с постоянными
коэффициентами ( 672 ).
20.4-6. Методы преобразований для линейных разностных уравнений с
постоянными коэффициентами ( 672 ).
20.4-7. Системы обыкновенных разностных уравнений. Матричная запись ( 674 ).
20.4-8. Устойчивость ( 675 ).
20.5.Интерполяция функций... 675
20.5-1. Вводные замечания ( 675 ).
20.5-2. Общие формулы параболической интерполяции (значения аргумента могут
быть и неравиоотстоящнми) ( 675 ).
20.5-3. Интерполяционные формулы для равноотстоящих значении аргумента.
Ромбовидные диаграммы ( 677 ).
20.5-4. Обратная интерполяция ( 677 ).
20.5-5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов ( 682 ).
20.5-6. Интерполяция функций нескольких переменных ( 682 ).
20.5-7. Обратные разности н интерполяция рациональными дробями ( 683 ).
20.6.Аппроксимация функций ортогональными многочленами, отрезками ряда
Фурье и другими методами... 683
20.6-1. Вводные замечания ( 683 ).
20.6-2. Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов
на интервале ( 683 ).
20.6-3. Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов
на дискретном множестве точек ( 684 ).
20.6-4. Равномерные приближения ( 686 ).
20.6-5. Экоиомизацня степенных рядов ( 686 ).
20.6-6. Численный гармонический анализ и тригонометрическая интерполяция ( 687 ).
20.6-7. Разные приближения ( 693 ).
20.7.Численное дифференцирование н интегрирование... 695
50.7-1. Численное дифференцирование ( 695 ).
20.7-2. Численное интегрирование для равноотстоящих узлов ( 696 ).
20.7-3. Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева ( 698 ).
20.7-4. Построение н сравнение квадратурных формул ( 700 ).
20.7-5. Вычисление кратных интегралов ( 700 ).
20.8.Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений ... 701
20.8-1. Вводные замечания ( 701 ).
20.8-2. Одпошаговые методы решения задачи Кошн. Методы Эйлера н
Рунге — Кутта ( 701 ).
20.8-3. Многошаговые методы решения задачи Коши ( 703 ).
20.8-4. Улучшенные многошаговые методы ( 704 ).
20.8-5. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага н
устойчивость ( 704 ).
20.8-6. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и системы
дифференциальных уравнений ( 706 ).
20.8-7. Специальные формулы для уравнений второго порядка ( 707 ).
20.8-8. Анализ частотных характеристик ( 708 ).
20.9.Численное интегрирование уравнений с частными производными, краевые
задачи; интегральные уравнения... 709
20.9-1. Вводные замечания ( 709 ).
20.9-2. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных
уравнений ( 709 ).
20.9-3. Обобщенный метод Ньютона (квазнлннеарнзацкя) ( 710 ).
20.9-4. Разностные методы численного решения уравнений с частными
производными для случая диух независимых переменных ( 710 ).
20.9-5. Двумерные разностные операторы ( 711 ).
20.9-6. Представление краевых условий ( 711 ).
20.9-7. Задачи, содержащие более двух независимых переменных ( 714 ).
20.9-8. Пригодность разностных схем. Условия устойчивости ( 714 ).
20.9-9. Методы аппроксимн рующих функций для численного решения краевых задач ( 715 ).
20.9-10. Численное решение интегральных уравнений ( 716 ).
20.10. Методы Монте-Карло... 717
20.10-1. Методы Моите-Карло ( 717 ).
20.10-2. Два метода уменьшения дисперсии оценки ( 718 ).
20.10-3. Использование предварительной информации. Метод значимой выборки ( 719 ).
20.10-4. Некоторые методы генерирования случайных чисел.
Проверка случайности ( 719 ).
// ]
ГЛАВА 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
// [
21.1.Введение... 720
21.1-1. Взодные замечания ( 720 ).
21.2.Элементарные трансцендентные функции... 720
21.2-1. Тригонометрические функции ( 720 ).
21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями ( 722 ).
21.2-3. Теоремы сложения и формулы для кратных углов ( 723 ).
21.2-4. Обратные тригонометрические функции ( 724 ).
21.2-5. Гиперболические функции ( 725 ).
21.2-6. Соотношения между гиперболическими функциями ( 726 ).
21.2-7. Формулы сложения для гиперболических функций ( 726 ).
21.2-8. Обратные гиперболические функции ( 727 ).
21.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и
гиперболическими функциями ( 728 ).
21.2-10. Определение логарифма ( 728 ).
21.2-11. Соотношения между обратными тригонометрическими, обратными
гиперболическими и логарифмической функциями ( 729 ).
21.2-12. Разложения в степенные ряды ( 729 ).
21.2-13. Разложения в бесконечные произведения ( 730 ).
21.2-14. Некоторые полезные неравенства ( 730 ).
21.3.Некоторые интегральные функции... 730
21.3-1. Интегральные синус, косинус, логарифм и показательная функция ( 730 ).
21.3-2. Интегралы Френеля и интеграл вероятностей ( 738 ).
21.4.Гамма-функция и связанные с ней функции... 739
21.4-1. Гамма-функция ( 739 ).
21.4-2. Асимптотическое разложение Стнрлинга для Г(z) и п! ( 743 ).
21.4-3. Логарифмическая производная гамма-фуикцни ( 743 ).
21.4-4. Бета-функцня ( 743 ).
21.4-5. Неполные гамма– и бета-функции ( 744 ).
21.5.Биномиальные коэффициенты и факторнальные многочлены. Многочлены
и числа Бернулли... 744
21.5-1. Биномиальные коэффициенты н факторнальные многочлены ( 744 ).
21.5-2. Многочлены и числа Бернулли ( 746 ).
21.5-3. Формулы, связывающие многочлены Берпулли и факторнальные многочлены ( 747 ).
21.5-4. Приближенные формулы для #CONT_21.5-4# ( 747 ). ???
21.6.Эллиптические функции, эллиптические интегралы н
связанные с ними функции... 748
21.6-1. Эллиптические функции; общие свойства ( 748 ).
21.6-2. #CONT_21.6-3a#-функцня Вейерштрасса ( 748 ).
21.6-3. #CONT_21.6-3b# и #CONT_21.6-3c#-функцин Вейерштрасса ( 750 ). ???
21.6-4. Эллиптические интегралы ( 751 ).
21.6-5. Приведение эллиптических интегралов ( 751 ).
21.6-6. Нормальные эллиптические интегралы Лежаидра ( 753 ).
21.6-7. Эллиптические функции Якобн ( 761 ).
21.6-8. Тэта-фуикцни Якобн ( 765 ).
21.6-9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейерштрасса
и тэта-функциями ( 767 ).
21.7.Ортогональные многочлены... 767
21.7-1. Введение ( 767 ).
21.7-2. Действительные нули ортогональных много членов ( 768 ).
21.7-3. Функции Лежаидра ( 768 ).
21.7-4. Многочлены Чебышева первого н второго рода ( 768 ).
21.7-5. Обобщенные многочлены н присоединенные функции Лагерра ( 774 ).
21.7-6. Функции Эрмнта ( 775 ).
21.7-7. Некоторые интегральные формулы ( 776 ).
21.7-8. Многочлены Якобн и Гегенбауэра ( 776 ).
21.8.Цилиндрические функции, присоединенные функции
Лежаидра и сферические гармоники... 777
21.8-1. Функции Бесселя и другие цилиндрические функции ( 777 ).
21.8-2. Интегральные формулы ( 779 ).
21.8-3. Нули цилиндрических функций ( 780 ).
21.8-4. Функции Бесселя целого порядка ( 781 ).
21.8-5. Решение дифференциальных уравнений при помощи функций
Бесселя н связанных с ними функций ( 782 ).
21.8-6. Модифицированные функции Бесселя н Ганкеля ( 782 ).
21.8-7. Функции #CONT_21.8-7# ( 783 ).
21.8-8. Сферические функции Бесселя ( 784 ).
21.8-9. Асимптотические раз ложепия цилиндрических функций и сферических
функций Бесселя для больших значений |Z| ( 785 ). ???
21.8-10. Присоединенные функции н многочлены Лежандра ( 785 ).
21.8-11. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра ( 787 ).
21.8-12. Сферические гармоники. Ортогональность ( 787 ).
21.8-13. Теоремы сложения ( 789 ).
21.9. Ступенчатые функции и символические импульсные функции ... 790
21.9-1. Ступенчатые функции ( 790 ).
21.9-2. Символическая дельта-функция Дирака ( 792 ).
21.9-3. Производные ступенчатых и импульсных функций ( 793 ).
21.9-4. Аппроксимация импульсных функций ( 794 ).
21.9-5. Представления интегралом Фурье ( 795 ).
21.9-6. Асимметричные импульсные функции ( 795 ).
21.9-7. Многомерные дельта-функции ( 795 ).
// ]
ЛИТЕРАТУРА... 796
УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ... 801
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ... 801
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ.
// [
ГЛАВА 1.
// [
1.10-1. Правильные многоугольники ... 47
1.10-2. Тела вращения ... 48
1.10-3. Пять правильных многогранников ... 49
1.11-1. Решение плоских треугольников ... 50
1.12-1. Решение сферических треугольников ... 54
// ]
ГЛАВА 2.
// [
2.4-1. Классификация кривых второго порядка ... 65
2.4-2. Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка ... 68
2.5-1. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения и основные формулы ... 72
// ]
ГЛАВА 3.
// [
3.5-1. Классификация поверхностей второго порядка ... ... 90
3.5-2. Стандартные (канонические) урашения и основные свойства
невырожденных поверхностей второго порядка . ... 94
// ]
ГЛАВА 4.
// [
4.5-1. Производные часто встречающихся функций ... 108
4.5-2. Правила дифференцирования ... 111
4.6-1. Свойства нитегралои ... ... 114
4.7-1. Некоторые часто встречающиеся пределы ... 130
4.8-1. Суммы некоторых числовых рядов ... 135
4.10-1. Действия со степениьши рядами ... 144
4.11-1. Коэффициенты Фурье и средпеквадратические значения
пориодических функции ... . ... 151
4.11-2. Свойства преобразования Фурье ... 154
4.11-3. Преобразования Фурье ... ... 155
4.11-4. Косинус-преобразования Фурье ... 158
4.11-5. Сииус-преобразовання Фурье ... 159
// ]
ГЛАВА 5.
// [
5.2-1 Свойства скалярного произведения ... 164
5.2-2. Свойства векторного произведения ... 165
5.3-1. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента ... 167
5.5-1. Правила действий с оператором V ... 172
5.5-2. Операции над скалярными функциями ... 174
5.5-3. Операции над векторными функциями ... 174
5.6-1. Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы... 175
// ]
Глава 6.
// [
6.3-1. Соотношения между базисными векторами и координатами векторов
в различных локальных системах отсчета ... 181
6.4-1. Векторные соотношения в ортогональных координатах ... 184
6.5-1. Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах . . . 186
6.5-2. Общие эллипсоидальные координаты #CONT_6.5.-3# ... 189
6.5-3. Координаты #CONT_6.5.-4# вытянутого эллипсоида вращения ... 190
6.5-4. Координаты #CONT_6.5.-4# сплюснутого эллипсоида вращения ... 191
6.5-5. Координаты #CONT_6.5.-5# эллиптического цилиндра ... 101
6.5-6. Конические координаты ## ... 192
6.5-7. Парсболоидальные координаты #CONT_6.5.-3# ... 192
6.5-8. Параболические координаты #CONT_6.5.-4# ... 193
6.5-9. Координаты #CONT_6.5.-5# параболического цилиндра ... 193
6.5-10. Бнцилипдричсские координаты #CONT_6.5.-5# ... 191
6.5-11. Тороидальные координаты #CONT_6.5.-4# ... 195
6.5-12. Биполярные координаты #CONT_6.5.-4# ... 195
// ]
Главa 7.
// [
7.2-1. Действительная и мнимая части, пули и особенности для наиболее
часто встречающихся функций #CONT_7.2-1#
комплексного переменного z = х + iy ... 193
7.9-1. Свойства отображения #CONT_7.9-1# ... 218
7.9-2. Примеры конформных отображений ... 219
7.9-3. Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг . . . 22G
// ]
ГЛАВА 8.
// [
8.3-1. Теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями . . . 231
8.4-1. Таблица преобразований Лапласа ... 235
8.4-2. Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений
F (s) =#CONT_8.4.-2b# ...242
8.6-1. Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные
с преобразованием Лапласа ... 257
8.6-2. Преобразования Ганкеля ... 254
8.7-1. Некоторые конечные интегральные преобразования ... 261
8.7-2. Соответствие операций при z-преобразовании ... 264
// ]
ГЛАВА 9.
// [
9.3-1. Функции Грина для линейных краевых задач ... 274
9.3-2. Дополнительные формулы для гипергеометрическнх функций ... 281
9.3-3. Дополнительные формулы для вырожденных гипергеометрических функ ций ... 233
// ]
ГЛАВА 10.
// [
10.2-1. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с
частными производными первого порядка ... 301
10.4-1. Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики... 320
// ]
ГЛАВА 12.
// [
12.5-1. Некоторые пространства числовых последовательностей ... 380
12.5-2. Некоторые пространства функций х (t), у (t) ... 331
12.8-1. Истинностная таблица для булевой функции ... 389
// ]
ГЛАВА 13.
// [
13.2-1. Некоторые нормы матриц ... 39!
// ]
ГЛАВА 14.
// [
14.7-1. Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных операторов ... 432
// ]
ГЛАВА 16.
// [
16.2-1. Определения тензорных величин наиболее распространенного типа,
основанные на законе преобразования их компонент ... 497
16.10-1. Дифференциальные инварианты, определенные в римановых пространствах ... 516
// ]
ГЛАВА 18.
// [
18.2-1. Вероятности логически связанных событий ... . 541
18.3-1. Числовые характеристики одномерных распределений вероятностей ... 545
18.7-1. Перестановки н разбиения ... 567
18.7-2. Сочетания и выборки ... 568
18.7-3. Размещения в ячейках или расположения ... 568
18.8-1. Вырожденное (причинное) распределение ... 571
18.8-2. Гипергеометрнческое распределение ... 571
18.8-3. Биномиальное распределение ... 572
18.8-4. Распределение Пуассона ... 574
18.8-5. Геометрическое распределение ... 574
18.8-6. Распределение Паскаля ... 574
18.8-7. Распределение Пойа ... 575
18.8-8. Плотность нормального распределения (стандартизованного) ... 577
18.8-9. Интеграл вероятностей ... 578
18.8.10. Функция ошибок ... 579
18.8-11. Непрерывные одномерные распределения вероятностей ... 580
// ]
ГЛАВА 19.
// [
19.5-1. #CONT_19.6-7#-распределение с т степенями свободы ... 621
19.5-2. t-распределение Стьюента с m степенями свободы ... 622
19.5-3. Распределение отношения дисперсий (#CONT_19.5-3a#-распределение) н связанные с ним ???
распределения ... 623
19.5-4. #CONT_19.6-7#-распределение ... 625
19.5-5.t-распределение Стьюдента ... 626
19.5-6. F-распределение (распределение #CONT_19.5-3a# ) ... 627
19.6-1. Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам #CONT_21.6-3b# #CONT_21.6-3c#
нормальной совокупности ... 633
19.6-2. Доверительные границы для нормальной совокупности ... 634
19.6-3. Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей ... 636
19.8-1. Усредняющие фильтры ... 644
// ]
ГЛАВА 20.
// [
20.2-1. Таблица алгоритма разделенных разностей ... 657
20.4-1. Краткая таблица z-преобразований н преобразований
Лапласа от ступенчатых функций ... 673
20.5-1. Интерполяционные формулы с центральными разностями ... 078
20.5-2. Коэффициенты интерполяционных формул ... 680
20.6-1. Многочлены Чебышева и степени х ... . 687
20.6-2. Приближения некоторых функций многочленами ... 688
20.6-3. Некоторые приближения цилиндрических функций ... 690
20.6-4. Приближения многочленами Чебышева ... 691
20.6-5. Схема гармонического анализа на 12 ордниат ... 692
20.6-6. Разные приближения ... 694
20.7-1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса, замкнутый тнп ... 697
20.7-2. Абсциссы н веса для квадратурных формул ... 6УЭ
20.8-1. Некоторые методы Руиге—Кутта для обыкновенных дифференциальных
уравнений и систем таких уравнений ... 702
20.8-2. Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказание — коррекция» ... 705
// ]
ГЛАВА 21.
// [
21.2-1. Специальные значения тригонометрических функций ... 720
21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргументов ... 722
21.3-1. Интегральный сннус Si (х) ... 732
21.3-2. Si (х) н интегральный косинус Ci (х) ... 733
21.3-3. Интегральная показательная функция ... 734
21.4-1. Гамма-функцня Г (х) ... 741
21.5-1. Определение и свойства биномиальных коэффициентов ... 745
21.6-1. Преобразование к нормальной форме Лежандра ... 754
21.6-2. Преобразования эллиптических интегралов ... 753
21.6-3. Преобразования полных эллиптических интегралов ... 759
21.6-4. Полные эллиптические интегралы КиЕ ... 760 ?
21.6-5. Периоды, нули, полюсы н вычеты эллиптических функций Якоби ... 762
21.6-6. Специальные значения эллиптических функций Якоби ... 763
21.6-7. Изменение переменной на четверть н половину периода ... 764
21 6-8. Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоби ... 766
21.7-1. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита . . . 769
21.7-2. Первые ортогональные многочлены ... 774
// ]
[==УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ==]
// ]